Cours n°01 : Introduction à l’inférence bayésienne Cours n°02 : Modèle Beta-Binomial Cours n°03 : Introduction à brms, modèle de régression linéaire Cours n°04 : Modèle de régression linéaire (suite) Cours n°05 : Markov Chain Monte Carlo Cours n°06 : Modèle linéaire généralisé Cours n°07 : Comparaison de modèles Cours n°08 : Modèles multi-niveaux Cours n°09 : Modèles multi-niveaux généralisés Cours n°10 : Data Hackathon
Petit problème : \(p(\text{data})\) s’obtient en calculant la somme (pour des variables discrètes) ou l’intégrale (pour des variables continues) de la densité conjointe \(p(\text{data}, \theta)\) sur toutes les valeurs possibles de \(\theta\). Cela se complique lorsque le modèle comprend plusieurs paramètres.
Le problème avec la distribution postérieure
Rappels Cours n°02
Trois méthodes pour résoudre (contourner) ce problème :
La distribution a priori est un prior conjugué de la fonction de vraisemblance (e.g., modèle Beta-Binomial). Dans ce cas, il existe une solution analytique (i.e., qu’on peut calculer de manière exacte) pour la distribution postérieure.
Autrement, pour des modèles simples, on peut utiliser la méthode par grille. On calcule la valeur exacte de la probabilité postérieure en un nombre fini de points dans l’espace des paramètres.
Pour les modèles plus complexes, explorer tout l’espace des paramètres n’est pas tractable. On va plutôt échantillonner intelligemment un grand nombre de points dans l’espace des paramètres.
Objectifs du cours
\(\longrightarrow~\) Présenter le principe de base de l’échantillonnage : Markov Chain Monte Carlo
\(\longrightarrow~\) Présenter deux algorithmes (Metropolis-Hastings et HMC)
\(\longrightarrow~\) Montrer les forces mais aussi les faiblesses de ces méthodes
\(\longrightarrow~\) Donner des outils de contrôle sur ces méthodes
\(\longrightarrow~\) Appliquer ces méthodes à un cas simple
Markov Chain Monte Carlo
Markov chain Monte Carlo \(\longrightarrow~\) Échantillonnage aléatoire \(\longrightarrow~\) Le résultat est un ensemble de valeurs du paramètre
Markov chain Monte Carlo \(\longrightarrow~\) Les valeurs sont générées sous forme de séquences (liaison de dépendance) \(\longrightarrow~\) Indice temporel pour identifier la place dans la chaîne \(\longrightarrow~\) Le résultat est de la forme : \(\theta^1, \theta^2, \theta^3, \dots, \theta^t\)
Markov chain Monte Carlo \(\longrightarrow~\) La valeur de paramètre générée ne dépend que de la valeur du paramètre précédent \(\Pr(\theta^{t+1} \given \theta^{t}, \theta^{t-1}, \ldots, \theta^{1}) = \Pr(\theta^{t + 1} \given \theta^{t})\)
Méthodes Monte Carlo
Le terme de méthode de Monte-Carlo désigne une famille d’algorithmes visant à calculer (ou approcher) une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires, c’est-à-dire des techniques probabilistes. Cette méthode a été formalisée en 1947 par Nicholas Metropolis, et publiée pour la première fois en 1949 dans un article co-écrit avec Stanislaw Ulam.
Méthodes Monte Carlo : Estimation de \(\pi\)
Soit un point \(M\) de coordonnées \((x, y)\), où \(0 < x < 1\) et \(0 < y < 1\). On tire aléatoirement les valeurs de \(x\) et \(y\) entre \(0\) et \(1\) suivant une loi uniforme. Le point \(M\) appartient au disque de centre \((0, 0)\) de rayon \(r = 1\) si et seulement si \(x^{2} + y^{2} \leqslant 1\). La probabilité que le point \(M\) appartienne au disque est \(\pi / 4\) puisque le quart de disque est de surface \(\sigma = \frac{\pi r^{2}}{4} = \frac{\pi}{4}\), et le carré qui le contient est de surface \(s = r^{2} = 1\). Si la loi de probabilité du tirage de point est uniforme, la probabilité de tomber dans le quart de disque vaut \(\frac{\sigma}{s} = \frac{\pi}{4}\). En faisant le rapport du nombre de points dans le disque au nombre de tirages \(\frac{N_{\text{inner}}}{N_{\text{total}}}\), on obtient donc une approximation de \(\pi / 4\).
Méthodes Monte Carlo : Estimation de \(\pi\)
trials <-1e5radius <-1x <-runif(n = trials, min =0, max = radius)y <-runif(n = trials, min =0, max = radius)distance <-sqrt(x^2+ y^2)inside <- distance < radiuspi_estimate <-4*sum(inside) / trials
Méthodes Monte Carlo
Autre exemple : déterminer la superficie d’un lac ou encore déterminer le maximum d’une fonction (optimisation) via simulated annealing ou recuit simulé (Wikipedia).
Méthodes Monte Carlo
Monte Carlo désigne une famille d’algorithmes qui ont pour but d’approcher des valeurs numériques à partir de procédés aléatoires. Pourrait-on s’en servir pour obtenir une approximation de la distribution postérieure ?
On connaît les priors \(p(\theta_{1})\) et \(p(\theta_{2})\) On connaît la fonction de vraisemblance \(p(\text{data} \given \theta_{1}, \theta_{2})\)
Mais on ne sait pas calculer la distribution postérieure… \(p(\theta_{1}, \theta_{2} \given \text{data}) = \dfrac{p(\text{data} \given \theta_{1}, \theta_{2}) p(\theta_{1}) p(\theta_{1})}{p(\text{data})}\)
Ou plutôt, on ne sait pas calculer \(p(\text{data})\)… ! Mais on sait calculer la distribution postérieure à une constante près. Or, comme \(p(\text{data})\) est une constante, elle ne change pas la forme de la distribution postérieure… ! On va donc explorer l’espace des paramètres et produire des échantillons proportionnellement à leur (densité de) probablité relative.
Influence de la constante de normalisation
Méthodes Monte Carlo : Exemple
Considérons un exemple simple : Soit un paramètre \(\theta\) avec 7 valeurs possibles et la fonction de répartition suivante, où \(p(\theta) = \theta\).
Méthodes Monte Carlo : Exemple
Estimation de cette distribution par tirage aléatoire : Cela revient à tirer aléatoirement un grand nombre de points “au hasard” parmi ces 28 cases (comme pour le calcul de \(\pi\)) !
La distribution des échantillons obtenus converge vers la “vraie” distribution.
Mais, cela nécessite généralement beaucoup d’échantillons…
Aucun contrôle sur la vitesse de convergence…
Et si on abandonnait l’échantillonnage indépendant ?
Algorithme Metropolis
Cet algorithme a été présenté pour la première fois en 1953 par Nicholas Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall Rosenbluth, Augusta H. Teller, et Edward Teller. Le problème des algorithmes Monte-Carlo n’est pas la convergence, mais la vitesse à laquelle la méthode converge. Pour augmenter la vitesse de convergence, il faudrait faciliter l’accès aux valeurs de paramètres les plus représentées.
Principe :
On fait une proposition de déplacement sur la base de la valeur courante du paramètre.
On réalise un tirage aléatoire pour accepter ou rejeter la nouvelle position.
Deux idées centrales :
La proposition doit favoriser les valeurs de paramètre les plus probables : On parcourt plus souvent ces valeurs de paramètres
La proposition doit se limiter aux valeurs adjacentes au paramètre courant : On augmente la vitesse de convergence en restant là où se trouve l’information (i.e., en parcourant l’espace des paramètres de manière locale plutôt que globale)
Algorithme Metropolis
Sélectionner un point de départ (on peut sélectionner n’importe quelle valeur).
Algorithme Metropolis
Faire une proposition de déplacement centrée sur la valeur courante de \(\theta\).
Algorithme Metropolis
Calculer la probabilité d’accepter le déplacement selon la règle suivante :
La position calculée devient la nouvelle position de départ et on répète l’algorithme.
Algorithme Metropolis
metropolis <-function (niter =1e2, startval =4) { x <-rep(0, niter) # initialise la chaîne (le vecteur) de longueur niter x[1] <- startval # définit la valeur de départ du paramètrefor (i in2:niter) { current <- x[i -1] # valeur courante du paramètre proposal <- current +sample(c(-1, 1), size =1)# on s'assure que la valeur proposée est bien dans l'intervalle [1, 7]if (proposal <1) proposal <-1if (proposal >7) proposal <-7# calcul de la probabilité de déplacement prob_move <-min(1, proposal / current)# on se déplace (ou pas) suivant cette probabilité# x[i] <- ifelse(prob_move > runif(n = 1, min = 0, max = 1), proposal, current) x[i] <-sample(c(proposal, current), size =1, prob =c(prob_move, 1- prob_move) ) }return (x)}
Méthodes Monte Carlo vs. Algorithme Metropolis
Algorithme Metropolis
Application au lancer de pièce (cas continu)
\(~\bullet~\) La fonction de vraisemblance est donnée par : \(\color{orangered}{p(y \given \theta, n) \propto \theta^y(1 - \theta)^{(n - y)}}\) \(~\bullet~\) Le prior est donné par : \(\color{steelblue}{p(\theta \given a, b) \propto \theta^{(a - 1)}(1 - \theta)^{(b - 1)}}\) \(~\bullet~\) Le paramètre que l’on cherche à estimer prend ses valeurs dans l’intervalle \(\left[0, 1 \right]\)
Problème n°1 : Comment définir la proposition de déplacement ?
On peut modéliser le déplacement par une distribution normale : \(\Delta \theta \sim \mathrm{Normal}(0, \sigma)\) \(\longrightarrow~\) La moyenne \(\mu\) vaut \(0\) : le déplacement se fait autour de la valeur courante du paramètre \(\longrightarrow~\) La variance reste à déterminer, elle contrôle l’éloignement de la nouvelle valeur
Algorithme Metropolis
Problème n°2 : Quelle probabilité utiliser pour accepter ou refuser le déplacement ? Nous utilisons le produit de la vraisemblance et du prior : \(\color{orangered}{\theta^y(1 - \theta)^{(n - y)}}\color{steelblue}{\theta^{(a - 1)}(1 - \theta)^{(b - 1)}}\)
La probabilité d’accepter le déplacement est donnée par : \(\Pr_{\text{move}} = \text{min} \left(\frac{\Pr(\theta_{\text{current}} + \Delta\theta)}{\Pr(\theta_{\text{current}})}, 1 \right)\)
REMARQUE : Le rapport \(\frac{\Pr(\theta_{\text{current}} + \Delta\theta)}{\Pr(\theta_{\text{current}})}\) est le même que l’on utilise la distribution postérieure ou le produit prior par vraisemblance (car la constante de normalisation s’annule) !
Algorithme Metropolis
\(\longrightarrow~\) Sélectionner un point de départ \(~\bullet~\) Il faut choisir \(\theta \in \left[0,1\right]\) \(~\bullet~\) Seule contrainte : \(\Pr(\theta_{\text{initial}}) \ne 0\)
\(\longrightarrow~\) Choisir une direction de déplacement \(~\bullet~\) Faire un tirage suivant \(\mathrm{Normal}(0, \sigma)\)
\(\longrightarrow~\) Accepter ou rejeter la proposition de déplacement, suivant la probabilité :
Les algorithmes Metropolis et Metropolis-Hastings (ou Gibbs) ont de mauvaises performances lorsque les paramètres du modèle sont fortement corrêlés. L’algorithme Hamiltonian Monte Carlo repose sur l’algorithme Metropolis mais résout ces problème en utilisant la géométrie de l’espace postérieur. On utilise l’opérateur hamiltonien (hamiltonians) qui représente l’énergie totale d’un système. Cette énergie se décompose en l’énergie potentielle (qui dépend de la position dans l’espace des paramètres \(\theta\)) et son énergie cinétique, qui dépend de son momentum (\(m\)) :
\[
H(\theta, m) = \underbrace{U(\theta)}_{\text{énergie potentielle}} + \underbrace{KE(m)}_{\text{énergie cinétique}}
\]
L’énergie potentielle est donnée par le négatif du log de la densité postérieure (non-normalisée) ;
Quand la densité postérieure augmente, l’énergie potentielle diminue (i.e., devient plus négative).
Algorithme Hamiltonian Monte Carlo
Si on “suit” simplement la gravité de notre position dans l’espace postérieur (imaginons que nous suivions la trajectoire d’une luge ou d’une bille dans cet espace), on arrivera à un minimum de cet espace, mais on veut explorer tout l’espace proportionnellement à la densité postérieure, pas seulement les endroits de forte densité…
L’algorithme Metropolis repose sur les principes suivants :
\(\longrightarrow~\) La proposition de déplacement est toujours une gaussienne multivariée centrée sur la position courante.
\(\longrightarrow~\) La proposition de déplacement est une gaussienne qui garde toujours la même forme (variance constante).
L’algorithme HMC repose sur une autre idée : Adapter la proposition de déplacement en fonction de la position courante du paramètre et de la géométrie de la distribution postérieure aux alentours de cette position.
Algorithme Hamiltonian Monte Carlo
Algorithme Hamiltonian Monte Carlo
\(\longrightarrow~\) Sélectionner un point de départ \(\theta_{0}\) : On peut sélectionner n’importe quelle valeur de \(\theta\) dans l’espace des paramètres
\(\longrightarrow~\) Générer une nouvelle position à partir de la fonction de potentiel \(~\bullet~\)L’algorithme génère une proposition par analogie au lancer d’une bille sur la fonction de potentiel \(~\bullet~\)Le pas de déplacement, ainsi que le nombre de déplacement, sont fixés à l’avance \(~\bullet~\)La force avec laquelle on lance la bille est déterminée par une loi normale multivariée :\(m \sim \mathrm{MVNormal}(\mu, \Sigma)\) \(~\bullet~\)Estimation de la trajectoire discrétisée via la méthode leapfrog
\(\longrightarrow~\) Accepter ou rejeter la proposition de déplacement suivant la probabilité (où \(\phi\) est le moment associé à la bille) :
\(\longrightarrow~\) On enregistre la nouvelle position et on recommence…
Influence de la durée de déplacement…
Influence de la variabilité du moment initial…
Algorithme Hamiltonian Monte Carlo
Algorithme Hamiltonian Monte Carlo
L’algorithme HMC est particulièrement utile lorsque le modèle contient un grand nombre de paramètres et quand les paramètres sont corrélés entre eux.
Il nécessite un paramétrage assez fin. Des logiciels proposent des méthodes clés en main très efficaces.
Le package brms utilise une variation de cet algorithme (l’algorithme NUTS) qui permet d’éviter les trajectoires cycliques.
Évaluation des MCMC
Ces méthodes peuvent ne pas converger vers la “vraie” distribution postérieure, en raison du temps de calcul limité, du paramétrage de certains hyper-paramètres (e.g., variance de la distribution normale de la proposition, ou variance du moment initial pour HMC).
Ces méthodes produisent des chaînes de valeurs de paramètres (échantillons). L’utilisation de tel ou tel algorithme MCMC pour échantillonner la distribution postérieure repose sur trois objectifs :
Les valeurs de la chaîne doivent être représentatives de la distribution postérieure \(~\bullet~\) Ces valeurs ne doivent pas dépendre du point de départ \(~\bullet~\) Ces valeurs ne doivent pas être cantonnées à une région particulière de l’espace des paramètres
La chaîne doit être suffisamment longue pour assurer la précision et la stabilité du résultat \(~\bullet~\) La tendance centrale et le HDI calculés à partir de la chaîne ne doivent pas changer si on relance la procédure
La chaîne doit être générée de manière efficace (avec le moins d’itérations possible)
Évaluation des MCMC - Représentativité
Vérification visuelle des trajectoires : Les chaînes doivent occuper le même espace, la convergence ne dépend pas du point de départ, aucune chaîne ne doit avoir de trajectoire particulière (e.g., cyclique).
Vérification visuelle des densités : Les densités doivent se superposer.
Évaluation des MCMC - Représentativité
Cette affichage ne montre que les 500 premières itérations. Les trajectoires ne se superposent pas au début (zone orange). La densité est également affectée. En pratique on supprime ces premières itérations (période de “burn-in” ou de “warm-up”).
Évaluation des MCMC - Représentativité
Vérification numérique des chaînes : Le shrink factor (aussi connu comme \(\hat{R}\) ou Rhat) est le rapport entre la variance inter-chaînes et intra-chaîne. Cette valeur devrait idéalement tendre vers 1 (on la considère comme acceptable jusqu’à 1.01).
Évaluation des MCMC - Stabilité et précicion
Plus la chaîne est longue et plus le résultat sera précis et stable. Si la chaîne “s’attarde” sur chaque position, et que le nombre d’itérations reste le même, alors on perd en précision. Il lui faudra plus d’itérations pour arriver au même niveau de précision. L’autocorrélation est la corrélation de la chaîne avec elle-même mais décalé de \(k\) itérations (lag).
Évaluation des MCMC - Stabilité et précicion
La fonction d’autocorrélation est représentée pour chaque chaîne (en haut à droite). Un autre résultat rend compte de la précision de l’échantillon : l’effective sample size, \(ESS = \frac{N}{1 + 2 \sum_k ACF(k)}\). Il représente la taille d’un échantillon non-autocorrélé extrait de la somme de toutes les chaînes. Pour une précision raisonnable du HDI, il est recommandé d’avoir un ESS supérieur à 1000.
Évaluation des MCMC - Stabilité et précicion
L’erreur standard d’un ensemble d’échantillons est donné : \(SE = SD / \sqrt{N}\). Plus \(N\) augmente plus l’erreur standard diminue. On peut généraliser cette idée aux chaînes de Markov : \(MCSE = SD / \sqrt{ESS}\). Pour une précision raisonnable de la tendance centrale, il faut que cette valeur soit faible.
Évaluation des MCMC - Implémentation via brms
library(tidyverse)library(imsb)library(brms)d <-open_data(howell)d2 <- d %>%filter(age >=18)priors <-c(set_prior("normal(150, 20)", class ="Intercept"),set_prior("normal(0, 10)", class ="b"),set_prior("exponential(0.01)", class ="sigma") )mod1 <-brm( height ~1+ weight,prior = priors,family =gaussian(),data = d2, chains =4, # nombre de MCMCsiter =2000, # nombre total d'itérations (par chaîne)warmup =1000, # nombre d'itérations pour le warm-upthin =1# thinning (1 = no thinning) )
Évaluation des MCMC - Implémentation via brms
# combo can be hist, dens, dens_overlay, trace, trace_highlight...# cf. https://mc-stan.org/bayesplot/reference/MCMC-overview.htmlplot(x = mod1, combo =c("dens_overlay", "trace") )
Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1 + weight
Data: d2 (Number of observations: 352)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 113.90 1.92 110.20 117.68 1.00 3646 2735
weight 0.90 0.04 0.82 0.99 1.00 3751 2827
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 5.11 0.20 4.75 5.51 1.00 4056 2935
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
Évaluation des MCMC - Implémentation via brms
Bulk-ESS fait référence à l’ESS calculé sur la distribution des échantillons normalisée par leur rang, et plus particulièrement autour de la position centrale de cette distribution (e.g., moyenne ou médiane). On recommande que le Bulk-ESS soit au moins 100 fois plus élevé que le nombre de chaînes (i.e., pour 4 chaînes, le Bulk-ESS devrait être d’au moins 400).
Tail-ESS donne le minimum de l’ESS calculé pour les quantiles à 5% et 95% (i.e., pour les queues de la distribution des échantillons normalisés par leur rang). Cette valeur doit être élevée si nous accordons de l’importance à l’estimation des valeurs extrêmees (par exemple pour calculer un intervalle de crédibilité).
Quand tout va mal, voir ces recommendations de l’équipe de Stan concernant les choix de prior, ou ce guide concernant les messages d’erreur fréquents. Voir aussi l’article récent ou cet article de blog introduisant ces nouveaux indices.
Évaluation des MCMC - Implémentation via brms
post %>%# rank plotsmcmc_rank_overlay(pars =vars(b_Intercept:sigma) ) +labs(x ="Rang", y ="Fréquence") +coord_cartesian(ylim =c(25, NA) )
Résumé du cours
Nous avons introduit et discuté l’utilisation d’échantillonneurs pour obtenir des échantillons issus de la distribution postérieure (non-normalisée). Ces échantillons peuvent ensuite être utilisés pour calculer différentes statistiques de la distribution postérieure (e.g., moyenne, médiane, HDI).
L’algorithme Metropolis-Hastings peut être utilisé pour n’importe quel problème pour lequel une vraisemblance peut être calculée. Cependant, bien que cet algorithme soit simple à coder, sa convergence peut être très lente… De plus, cet algorithme ne fonctionne pas bien lorsqu’il existe de fortes corrélations entre les différents paramètres…
L’algorithme HMC évite ces problèmes en prenant en considération la géométrie de l’espace postérieur lors de son exploration (i.e., lorsque l’algorithme décide où il doit aller ensuite). Cet algorithme converge beaucoup plus rapidement que les deux précédents et moins d’échantillons seront nécessaires pour approcher la distribution postérieure.
Le résultat d’une inférence bayésienne est donc, en pratique, un ensemble d’échantillons obtenus en utilisant des MCMCs. La fiabilité des ces estimations doit être évaluée en vérifiant (visuellement et numériquement) que les MCMCs ont bien convergé vers une solution optimale.
Travaux pratiques
On s’intéresse à la performance économique des capitales rgdppc_2000 en fonction de deux paramètres : la rudesse du paysage (plus ou moins vallonné) rugged et son appartenance au continent africain cont_africa.
'data.frame': 170 obs. of 6 variables:
$ isocode : chr "AGO" "ALB" "ARE" "ARG" ...
$ country : chr "Angola" "Albania" "United Arab Emirates" "Argentina" ...
$ rugged : num 0.858 3.427 0.769 0.775 2.688 ...
$ cont_africa: int 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ...
$ rgdppc_2000: num 1795 3703 20604 12174 2422 ...
$ log_gdp : num 7.49 8.22 9.93 9.41 7.79 ...
Travaux pratiques
Écrire le modèle qui prédit log_gdp en fonction de la rudesse du terrain, du continent, et de l’interaction de ces deux variables avec brms::brm(), en spécifiant vos propres priors. Examinez ensuite les estimations de ce modèle (interprétation des paramètres, diagnostiques des MCMCs).
priors2 <-c(set_prior("normal(0, 100)", class ="Intercept"),set_prior("normal(0, 10)", class ="b"),set_prior("exponential(0.01)", class ="sigma") )mod2 <-brm( log_gdp ~1+ rugged * cont_africa,prior = priors2,family =gaussian(),data = df1,chains =4, # nombre de MCMCsiter =2000, # nombre total d'itérations (par chaîne)warmup =1000# nombre d'itérations pour le warm-up )
Proposition de réponse
summary(mod2)
Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: log_gdp ~ 1 + rugged * cont_africa
Data: df1 (Number of observations: 170)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 9.22 0.14 8.94 9.50 1.00 2690 2904
rugged -0.20 0.08 -0.36 -0.05 1.00 2688 2830
cont_africa -1.94 0.23 -2.39 -1.49 1.00 2463 2514
rugged:cont_africa 0.39 0.13 0.13 0.64 1.00 2430 2775
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 0.95 0.05 0.86 1.06 1.00 4156 2453
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
Proposition de réponse
plot(x = mod2, combo =c("dens_overlay", "trace"), pars ="^b_")
